Σάββατο, Δεκεμβρίου 20, 2008

Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου, Ντένι Γκετζ

Πρόκειται για ένα πολύ πρωτότυπο, μικρό βιβλιαράκι, ένα βιβλίο- διάλογο μεταξύ του συγγραφικού «εγώ» και της κόρης του Λόλας, με θέμα τη γοητεία των μαθηματικών. Για την ακρίβεια, η Λόλα εκφράζει τη απέχθειά της στην αρχή του διαλόγου πολύ δυναμικά ( είναι ένα μάθημα όλο ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ, γεμάτο με ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ, όπου σε περικυκλώνουν ΚΑΝΟΝΕΣ) για να καταλήξει με πάθος στο ότι «τα μαθηματικά είναι ΒΙΑΙΑ! ». Στον εμβρόντητο συγγραφέα/πατέρα της η Λόλα δίνει τις εξής καταπληκτικές εξηγήσεις για τη «βία» των μαθηματικών:
-Τα βρίσκω απότομα, τα πράγματα πέφτουν σα λεπίδες. Αρκεί να κάνεις ένα ασήμαντο σφάλμα, και την έχεις πατήσει, είναι όλα τελείως λάθος και όχι …λιγάκι λάθος (…). Έπειτα, έχεις την αίσθηση ότι είναι «έτσι και όχι αλλιώς», να τι με ενοχλεί. Νιώθω ανήμπορη. Είναι σα να σε αποστομώνουν. Τα μαθηματικά … έχουν πάντα την τελευταία λέξη.
(…)
-Είσαι βέβαιη ότι μόνο στα μαθηματικά τα πράγματα είναι «έτσι κι όχι αλλιώς»; Ο Σηκουάνας διασχίζει το Παρίσι και όχι το Στρασβούργο, είναι έτσι κι όχι αλλιώς. Η Βαστίλη έπεσε στις 14 Ιουλίου του 1789 και όχι στις 13. Είναι «έτσι κι όχι αλλιώς».
- Ναι, αλλά θα μπορούσε.
- θα μπορούσε τι;
- Να είχε πέσει στις 13. (!!)

Έτσι δυναμικά ξεκινά ένας ουσιαστικός διάλογος για τη φύση των μαθηματικών ως επιστήμης, για την ακρίβεια ως μιας ιδιαίτερης γλώσσας, που ασφαλώς δε μπορεί να εκφράσει τα πάντα (στα μαθηματικά μπορείς να πεις σ’ αγαπώ;) αλλά πολλές ιδέες, σχέσεις, ερωτήματα, αναλογίες, κλπ. Ο διάλογος είναι ουσιαστικός, γιατί απευθυνόμενος σ’ ένα παιδί, κι όχι σε ειδικούς, ο μαθηματικός/συγγραφέας εκμαιεύει απλές αλήθειες και τοποθετεί εξαρχής τα θεμέλια των μαθηματικών, επισημαίνοντας μ’ αυτόν τον τρόπο και την ιδιαίτερη γοητεία τους.
Έτσι ξεκινά μια περιήγηση -ίσως λίγο εξειδικευμένου ενδιαφέροντος, αλλά πολύ συναρπαστική- στον «κόσμο» των μαθηματικών, ξεκινώντας από τη «γλώσσα» τους, που όταν είναι άσχημα διατυπωμένη (π.χ. 2+=) δεν είναι καν ψευδής, δεν έχει νόημα. Γίνεται λοιπόν αρχικά μια «απογραφή» των τύπων λέξεων που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά, των τύπων φράσεων αλλά και δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στη σημασία του ορισμού («ληξιαρχική πράξη γέννησης ενός νέου αντικειμένου»):
Σελ.19:
-Σε αντίθεση με τους ορισμούς των λέξεων, οι μαθηματικοί ορισμοί δεν είναι απλώς περιγραφικοί αλλά άμεσα λειτουργικοί, δηλ δεν μπορούμε να χειριστούμε τα μαθηματικά παρά μόνο εάν γνωρίζουμε τους ακριβείς ορισμούς, λέξη προς λέξη, χρησιμοποιώντας όλες τις λέξεις που εμφανίζονται στον ορισμό. Να γιατί πρέπει να γνωρίζουμε κάθε ορισμό λέξη προς λέξη. Αρκεί να ξεχάσουμε μία μόνο λέξη και…
- …είναι εντελώς λάθος, και όχι λίγο λάθος. Αυτό ακριβώς δεν αντέχω!

Μαθαίνουμε αρχικά (στο πρώτο, εισαγωγικό κεφάλαιο) τα θεμελιώδη σύμβολα (πρώτο-πρώτο το «ίσον») αλλά και την …ιστορία τους- ώσπου τίθεται το μέγα ερώτημα:
-ΥΠΗΡΧΑΝ ΠΑΝΤΑ ΑΡΙΘΜΟΙ;
Με πολύ άμεσο, απλό και ουσιαστικό τρόπο, σ’ ένα διάλογο όπου ο ένας συμπληρώνει τον άλλον, τοποθετούνται έννοιες βασικές όπως ακέραιοι αριθμοί, διαφορά αριθμού-ψηφίου, τρόπος αρίθμησης (μ’ εντυπωσίασε ο όρος "αρίθμηση θέσης με μηδέν"), δυαδικό (και όχι μόνο) σύστημα, κλάσμα, δύναμη, ζυγοί/άρτιοι αριθμοί, πρώτοι αριθμοί, αρνητικοί κ.α. Παράλληλα με τη σημασία και τη λειτουργικότητα κάθε όρου δίνεται και η «ιστορία» του, ο τρόπος και η αναγκαιότητα γένεσής του, πράγμα ιδιαίτερα ενδιαφέρον.
Στις αριθμητικές πράξεις υπάρχουν τρεις βαθμίδες: πρόσθεση, πολ/σμός, δύναμη. Ένας πολ/σμός είναι μια σειρά προσθέσεων, μια δύναμη είναι μια σειρά πολ/σμών.
Ερωτήματα απλοϊκά αλλά θεμελιακά:
Γιατί ο πολ/σμός είναι ευκολότερος από τη διαίρεση;
• Γιατί η διαίρεση, που είναι πιο δύσκολη, είναι πιο σημαντική από τον πολ/σμό; (απ. Από τις 4 πράξεις, είναι ίσως εκείνη που παρέχει τα σημαντικότερα αποτελέσματα. Οι διαιρέτες παρέχουν πολύ περισσότερες πληροφορίες για τον αριθμό που διαιρούν απ’ όσες παρέχουν τα πολ/σια για τον αριθμό του οποίου αποτελούν πολ/σιο).
• Γιατί είναι σημαντικοί οι πρώτοι αριθμοί;
(δεν μπορώ να κρύψω τη γοητεία που μου προκαλεί η διαπίστωση ότι α) κάθε ακέραιος μπορεί να παραχθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών αλλά κυρίως : β) αν διαθέτω πρώτους αριθμούς, μπορώ να λάβω όλους τους ακέραιους)!
Το 12 και το 60 είναι «προνομιούχοι» αριθμοί (πολύ πειστική η εξήγηση)

Από τις παρατηρήσεις στις σχέσεις των αριθμών, περνάμε με ανάλογο τρόπο στη «γεωμετρία», όπου με αφορμή ότι δυο ευθείες μπορεί να μην είναι ούτε παράλληλες ούτε τεμνόμενες, διατυπώνεται η θεμελιώδης διαπίστωση ότι πρόκειται για ένα ωραίο παράδειγμα του πόσο απαραίτητο είναι να διευκρινίζουμε σε ποιο σύμπαν ισχύει η πρόταση που διατυπώνουμε. Η γοητεία συνεχίζεται κατά τον ίδιο τρόπο με την άλγεβρα, τα σημεία και τους δεσμούς, τα προβλήματα, τους συλλογισμούς. Στο τελευταίο κεφάλαιο, «Ο συλλογισμός», μ’ εντυπωσίασε το ότι δεν υπήρχαν ανέκαθεν ….θεωρήματα, αλλά στην αρχαιότητα ανήγγελλαν τ’ αποτελέσματα στα οποία είχαν καταλήξει, χωρίς να αναφέρουν το πώς (παρεμπιπτόντως, το θεώρημα είναι το ζευγάρι υπόθεση- συμπέρασμα –όχι μόνο το συμπέρασμα-, το οποίο είναι αληθές όταν κι η υπόθεση είναι αληθής). Επίσης, με εντυπωσίασε η συνεπαγωγή, που έχει τέσσερις πιθανότητες (αληθής> ψευδής , ψευδής >αληθής (!), αλλά όχι αληθής> ψευδής (!!)), όπως και η αρνητική συνεπαγωγή (τι …μαγεία!).
Όσο προχωρά το βιβλίο προς το τέλος, θαρρείς ωριμάζουν οι δυο συνομιλητές, και με ευχάριστο/ χιουμοριστικό τρόπο θέτουν και ζητήματα πιο «φιλοσοφικά», πιο ριζικά για το ρόλο των μαθηματικών στην ανθρώπινη σκέψη. Π. χ. :
Σελ.70:
(Λόλα) – Στα μαθηματικά όλα δικαιολογούνται, όλα έχουν μια αιτία.
- Αυτό τουλάχιστον πιστεύουν οι μαθηματικοί. Θέλουν να κατανοούν, να εξηγούν, να αιτιολογούν. Θα προτιμούσες μήπως ένα σύμπαν όπου δεν θα υπήρχε καμία εξήγηση για όσα θα συνέβαιναν;
- Προτιμώ ένα σύμπαν όπου δεν αιτιολογούνται τα πάντα. Αυτό δε σημαίνει ότι επιθυμώ να μην εξηγείται τίποτα.
- Η εξήγηση δεν καταργεί το θάμπωμα. Όταν λυθεί το μυστήριο, απομένει η ομορφιά, που είναι ακόμα μεγαλύτερη όταν γνωρίζουμε από πού πηγάζει κλπ.
Στις τελευταίες σελίδες, οι δυο «άνισοι» συνομιλητές (γι’ αυτό όμως ίσως ο διάλογος έχει ιδιαίτερη γοητεία) μιλούν για την ακρίβεια της μαθηματικής γλώσσας (που τόσο εκνευρίζει τη Λόλα), για τη χρησιμότητά τους, για την ομορφιά τους, καταλήγοντας ότι δε θα μπορούσαν να υπάρχουν πιο εκ διαμέτρου αντίθετοι από τη Λόλα και τον Ρέι!!
Είναι ένα βιβλίο πολύ κατάλληλο για παιδιά που αγαπούν τα μαθηματικά (ή που τ' αγαπούν... λίγο!), πάντως απευθύνεται σε ανθρώπους «μη ειδικούς». Σίγουρα, δεν προσφέρει «γνώσεις» σε κάποιον που γνωρίζει τα στοιχειώδη μαθηματικά, αλλά νομίζω ότι σύντομα και ουσιαστικά περιγράφει τη λειτουργία, το ρόλο που έχουν τα μαθηματικά στη ζωή μας, είτε το θέλουμε είτε όχι!

Χριστίνα Παπαγελή

11 σχόλια:

Κ.Υ.Π WALKING είπε...

Η απέχθεια μου για τα μαθηματικά, δεν με εμπόδισε να διαβάσω το κείμενο.
Μου βγήκε ένα βία στη βία των μαθηματικών αρχικά και μετά το διάβασα ξανά.
Μάλλον μέχρι εδώ φτάνουν οι αντοχές μου.
Το πόστ πολύ καλό.

Χριστίνα είπε...

Δε μπορώ να συμμεριστώ τα συναισθήματά σου- αν και φιλόλογος γοητευόμουν πάντα από τα μαθηματικά. Αλλά καταλαβαίνω πόσο αντιφατικά συναισθήματα μπορεί να γεννήσει η "αυθαιρεσία" τους. Ίσως η αυθαιρεσία τους είναι η πιο χεροπιαστή απόδειξη ότι έχουμε ανάγκη μια γλώσσα για να "τακτοποιήσουμε τον κόσμο", μια γλώσσα που φαίνεται ανόητη γιατί πολλές φορές προσπαθεί να θεμελιώσει το αυτονόητο. Αλλά από δω και πέρα αρχίζει η φιλοσοφία! (είμαι επηρεασμένη από το Logicomix του Δοξιάδη, μια από τις επόμενες αναρτήσεις- ελπίζω να το αντέξεις κι αυτό!)

Κ.Υ.Π WALKING είπε...

Για μαθητής που πέρναγε τα Μαθηματικά λόγω μέσου όρου, έχω αναπτύξει κάποιες αντοχές. Ή μήπως οχι

as eon είπε...

Τα μαθηματικά είναι «καθαρός» λόγος, δηλαδή λόγος χωρίς περιεχόμενο και αυτό τα καθιστά ιδιόρρυθμη γλώσσα. Σίγουρα η συστηματική ενασχόληση σε κάποιο πανεπιστημιακό ίδρυμα δε συνεπάγεται και την καλύτερη κατανόησή τους και κυρίως την κατανόησή τους όταν αυτά αποκτούν περιεχόμενο...

Προφανώς ο κυπ θέλει να νοηματοδοτήσει τον κόσμο χωρίς φόρμες και αυτό τον κάνει να βλέπει τα μαθηματικά ως βία. Συμφωνώ, τα μαθηματικά σύμβολα και η ορολογία είναι η βία του επιστημονισμού ο οποίος διαχωρίζεται από την καθημερινή γνώση για να παρουσιαστεί ως ισχυρότερος, ως η πραγματική αλήθεια. Αυτό είναι μια ψευδής αναπαράσταση της πραγματικότητας. Απόδειξη ότι πολλοί απλοί άνθρωποι μπορούν να λύνουν δύσκολα προβλήματα πρακτικής αριθμητικής, πολλοί γνώστες της μαθηματικής ορολογίας και των συμβόλων της δε μπορούν...

Με τον ίδιο τρόπο, το γεγονός ότι κάποιος πέρασε τέσσερα, ή παραπάνω, από τα χρόνια της ζωής του σε μια φιλοσοφική σχολή δεν τον εμποδίζει να προσεγγίσει ένα βιβλίο για τα μαθηματικά. Όπως βέβαια δεν τον καθιστά, επειδή είναι γνώστης της φιλολογικής ορολογίας, εξ’ ορισμού καλύτερο χρήστη της γλώσσας των λέξεων.

Εν ολίγοις ο κατακερματισμός της γνώσης και του κόσμου δεν είναι τίποτα άλλο παρά η αντανάκλαση της κατακερματισμένης κοινωνίας που ανάγει τους διαχωρισμούς και σε επιστήμη. Συνεπώς, σημασία έχει να αυτοπροσδιοριζόμαστε με βάση τη θέση μας στην ιεραρχημένη κοινωνική δομή και όχι με κάποια φαντασιακή ταύτιση...

Τελικά, νομίζω ότι ουσιώδες παραμένει να αποκαθηλώσουμε την επιστήμη από το βάθρο της, δηλαδή από την ορολογία της, που εμποδίζει τα κοινωνικά υποκείμενα να την πλησιάσουν και να την οικειοποιηθούν...

Κ.Υ.Π WALKING είπε...

as eon
Πολύ καλά τα λες όσον αφορά την κοινωνική ανάλυση.
Όσον αφορά εμένα και τα μαθηματικά, πολύ θα ήθελα να είναι το θέμα πολιτικό, αλλά η αλήθεια είναι ότι είμαι απλά για τα μπάζα.

as eon είπε...

Μα κυπ, αυτό εννοώ όταν γράφω για τον "επιστημονισμό ο οποίος διαχωρίζεται από την καθημερινή γνώση για να παρουσιαστεί ως ισχυρότερος".

Απόδειξη αυτής της ισχύος είναι η ενοχοποίηση όσων δεν τον καταλαβαίνουν και μάλιστα όταν αυτή η ενοχοποίηση γίνεται αποδεκτή και βίωμα (κυρίως μέσα από τη σχολική αποτυχία) τότε η κυριαρχία του είναι ολοκληρωτική.

Πολύ καλό το κείμενο της Χριστίνας, πολύπλευρο και σαφές. Θα με κάνει να διαβάσω το βιβλίο γιατί θέλω να δω την οπτική που έχει για την κατά προσέγγιση λύση πολλών προβλημάτων, για τους άρρητους αριθμούς, για το "περίπου" τόσο της καθημερινότητάς μας.

Αλλά η ώρα πήγε περίπου πέντε, ππέπει να φύγω γιατί κατά τις έξι έχω δουλειά.

Χριστίνα είπε...

κ.υ.π.@ είναι αλήθεια ότι το εκ/κό σύστημα προσδίδει στα μαθηματικά ένα κύρος που προκαλεί φόβο, κι αισθήματα σε κάποιους ότι "είναι για τα μπάζα", (χαχα,πάλι το θέμα είναι κοινωνωικό- πάντως μετά τους φιλόλογους, οι πιο αντιπαθητικοί καθηγητές είναι οι μαθηματικοί
ας εων@ χαίρομαι πολύ για το ενδιαφέρον που σου προκάλεσε το βιβλιαράκι, άλλωστε απευθύνεται και σε σένα αφού έχεις κόρες!
δεν ξέρω αν τα μαθηματικά είναι "καθαρός λόγος, ΔΗΛΑΔΗ λόγος χωρίς περιεχομενο" (εννοείς χωρίς άμεση εφαρμογή;). Σίγουρα, από ένα σημείο και μετά πρόκειται για μια "ειδική γλώσσα" στη οποία πρέπει κανείς να εντρυφήσει για να την κατακτήσει.
Είναι μια πρόκληση στη λογική, και ενίοτε στην ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εννοώ ότι άνθρωποι με κοινή λογική, σίγουρα εμπλέκονται στα προκλητικά παιχνίδια των μαθηματικών.
Δεν καταλαβαίνω όμως γιατί μιλάς για "επιστημονισμό" και αν αφορά μόνο τα μαθηματικά ή όλες τις θετικές επιστήμες. Εγώ πιστεύω ότι σε ΟΛΕΣ τις επιστήμες εμφανίζεται το φαινόμενο του "τάχαμου", ΚΑΙ ΤΙς ΘΕΩΡΗΤΙΚΈΣ.
Εξήγησέ μου και τη φράση, σε παρακαλώ, "σημασία έχει να αυτοπροσδιοριζόμαστε με βάση τη θέση μας στην ιεραρχημένη κοινωνική δομή και όχι με κάποια φαντασιακή ταύτιση... ". Δεν καταλαβαίνω πώς σχετίζεται με τα υπόλοιπα.

as eon είπε...

Αν δεν είχα κόρες, δε θα απευθύνονταν. Πάντως έχεις δίκιο γιατί η Αλεξάνδρα από τεσσάρων ετώμ διατύπωσε τηη θεμελιώδη απορία: "γιατί βάλαμε με αυτή τη σειρά τους αριθμούς, δηλαδή γιατί το τρία να είναι μετά από το δύο;"

Καθαρός λόγος, δηλαδή χωρίς περιεχόμενο, δηλαδή είναι μόνο μορφή. Ας πούμε ένα τρίγωνο όταν αποκτά περιεχόμενο γίνεται τρίγωνη τυρόπιτα, τρίγωνο χωράφι ή τρίγωνα κάλαντα...
Τα μαθηματικά είναι η γλώσσα των φυσικώς επιστημών. Δηλαδή αποκτούν το περιεχόμενό τους όταν περιγράφουν τη Φύση.

Φυσικά ο επιστημονισμός αφορά όλες τις επιστήμες.

Σχετικά με την εξήγηση που ζητάς εννοώ ότι οι προσδιορισμοί μας, που σχετίζονται με ότι νομίζουμε ότι είμαστε (ας πούμε Ζορό, Σταχτοπούτες) θολώνουν τη συνείδησή μας και δε μας επιτρέπουν να έχουμε την οπτική γωνία του καθηγηταριάτου.

as eon είπε...

Να προσθέσω μια διευκρίνιση (σε τριτοπρόσωπο λόγο) με αφορμή το λογοπαίγνιο «καθηγηταριάτο».

Η θέση του δάσκαλου στην τάξη του δίνει ένα ρόλο εξουσίας απέναντι στους μαθητές. Αυτή πηγάζει από τη θέση του και από τις γνώσεις του. Αγωνιά να εφαρμόσει την εκπαιδευτική πολιτική, δηλαδή τη διδασκαλία συγκεκριμένων βιβλίων, με συγκεκριμένο τρόπο και συγκεκριμένα αναλυτικά προγράμματα. Αυτό μπορεί να τον απομακρύνει από την συνείδηση της πραγματικής κοινωνικής του θέσης. Αναπαράγει όλα τα ιδεολογικά στερεότυπα που διαχέονται στη διδακτέα ύλη και αγωνιά όταν αυτά δεν έχουν το ενδιαφέρον των μαθητών και γίνεται ο ίδιος θύμα αυτής της διαδικασίας. Έχω αντιληφθεί πολλές φορές τον εαυτό μου σε αυτή την «εμπλοκή».

Το βιβλίο που παρουσιάζει η Χριστίνα, εκτός από το μαθηματικό ενδιαφέρον, είναι και ένα καλό παράδειγμα παιδαγωγικής και κριτικής αντίληψης της γνώσης. Ο πατέρας της Λόλας συζητάει μαζί της όλα αυτά που δεν συζητιούνται, δεν «επιτρέπεται» να συζητηθούν, κατά τη διδασκαλία. Δηλαδή όλα αυτά που καλούνται οι μαθητές να τα δεχθούν ως δεδομένα. Αυτό συνιστά μια κριτική στάση.

Χριστίνα, θα ήθελα τη γνώμη σου, είναι στρεβλή η εικόνα που αποκόμισα για το βιβλίο;

Χριστίνα είπε...

ας εων@ πολύ διευκρινιστικό το τελευταίο σχόλιό σου, η αλήθεια είναι ότι δεν είχα καταλάβει ότι το "καθηγηταριάτο" παρέπεμπε στο "προλεταριάτο". Είναι έτσι όπως τα γράφεις, αλλά θέλω να πιστεύω ότι υπάρχουν και φωτεινές εξαιρέσεις κι εστιάζω σ' αυτές.
Προχωράω όμως τη σκέψη ψάχνοντας τη "χρυσή τομή": η ρήση "ο πελάτης έχει πάντα δίκιο" ισχύει κατά κανόνα και στη σχέση μαθητών καθηγητών- ναι, ως μαθητής δε χρειάζεται να ενοχοποιείς τον εαυτό σου αν δεν είχες την τύχη να σ' "εμπνεύσει" 'ενας καθηγητής στα μαθηματικά, στα φιλολογικά, στη φυσική. Αλλά δε θα πρεπε να δίνει και άλλοθι στα τεμπέλικα μυαλά που θεωρούν υπεύθυνους πάντα το σύστημα ή τους φορείς του συστήματος, και ακόμα περισσότερο ΤΟ ΙΔΙΟ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ της σχετικής επιστήμης. Δεν είναι τα σύμβολα και η ορολογία η αιτία της΄"βίας του επιστημονισμού" (κάποιος μαθηματικός ας επιβεβαιώσει την αναγκαιότητα αυτού του τύπου μεθοδολογίας), αλλά η ΚΑΤΑΧΡΗΣΗ ΤΟΥΣ. Κάπου –νομίζω- στη μέση βρίσκεται η "αλήθεια".

Ναι, κατά τη γνώμη μου το βιβλίο είναι στο πνεύμα που αναφέρεις. Νομίζω τελικά ότι το βασικό ερώτημα στο οποίο απαντά είναι το αρχικό που έθεσε η Λόλα, ο κυπ, εσύ: η "βία" των μαθηματικών, η "βία της καθαρής,"χωρίς περιεχόμενο" μορφής"". Αυτή όμως -γνώμη μου πάλι- δεν είναι η ΦΥΣΗ των μαθηματικών, η ιδιαιτερότητά τους σε σχέση με τις άλλες θετικές επιστήμες;

Αυτά τα θέματα τα θέτει κι ο Κράμεϋ στο βιλίο για τον Ντ' Αλαμπέρ, όπου σου θυμίζω τον σχετικό διάλογο που ακολούθησε,εδώ: http://anagnosi.blogspot.com/2008/05/blog-post.html αλλά και εδώ: http://anagnosi.blogspot.com/2008/09/799.html

ΒΙΒΛΙΟΚΑΦΕ είπε...

Χριστίνα,
σου εύχομαι χρόνια πολλά, προσωπική ευτυχία και προκοπή
και επιπλέον
το βιβλίο να συνεχίσει να είναι οδηγός στην πορεία προς την ψυχή μας.
Πατριάρχης Φώτιος