Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου, Ντένι Γκετζ

Πρόκειται για ένα πολύ πρωτότυπο, μικρό βιβλιαράκι, ένα βιβλίο- διάλογο μεταξύ του συγγραφικού «εγώ» και της κόρης του Λόλας, με θέμα τη γοητεία των μαθηματικών. Για την ακρίβεια, η Λόλα εκφράζει τη απέχθειά της στην αρχή του διαλόγου πολύ δυναμικά ( είναι ένα μάθημα όλο ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ, γεμάτο με ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ, όπου σε περικυκλώνουν ΚΑΝΟΝΕΣ) για να καταλήξει με πάθος στο ότι «τα μαθηματικά είναι ΒΙΑΙΑ! ». Στον εμβρόντητο συγγραφέα/πατέρα της η Λόλα δίνει τις εξής καταπληκτικές εξηγήσεις για τη «βία» των μαθηματικών:
-Τα βρίσκω απότομα, τα πράγματα πέφτουν σα λεπίδες. Αρκεί να κάνεις ένα ασήμαντο σφάλμα, και την έχεις πατήσει, είναι όλα τελείως λάθος και όχι …λιγάκι λάθος (…). Έπειτα, έχεις την αίσθηση ότι είναι «έτσι και όχι αλλιώς», να τι με ενοχλεί. Νιώθω ανήμπορη. Είναι σα να σε αποστομώνουν. Τα μαθηματικά … έχουν πάντα την τελευταία λέξη.
(…)
-Είσαι βέβαιη ότι μόνο στα μαθηματικά τα πράγματα είναι «έτσι κι όχι αλλιώς»; Ο Σηκουάνας διασχίζει το Παρίσι και όχι το Στρασβούργο, είναι έτσι κι όχι αλλιώς. Η Βαστίλη έπεσε στις 14 Ιουλίου του 1789 και όχι στις 13. Είναι «έτσι κι όχι αλλιώς».
- Ναι, αλλά θα μπορούσε.
- θα μπορούσε τι;
- Να είχε πέσει στις 13. (!!)

Έτσι δυναμικά ξεκινά ένας ουσιαστικός διάλογος για τη φύση των μαθηματικών ως επιστήμης, για την ακρίβεια ως μιας ιδιαίτερης γλώσσας, που ασφαλώς δε μπορεί να εκφράσει τα πάντα (στα μαθηματικά μπορείς να πεις σ’ αγαπώ;) αλλά πολλές ιδέες, σχέσεις, ερωτήματα, αναλογίες, κλπ. Ο διάλογος είναι ουσιαστικός, γιατί απευθυνόμενος σ’ ένα παιδί, κι όχι σε ειδικούς, ο μαθηματικός/συγγραφέας εκμαιεύει απλές αλήθειες και τοποθετεί εξαρχής τα θεμέλια των μαθηματικών, επισημαίνοντας μ’ αυτόν τον τρόπο και την ιδιαίτερη γοητεία τους.
Έτσι ξεκινά μια περιήγηση -ίσως λίγο εξειδικευμένου ενδιαφέροντος, αλλά πολύ συναρπαστική- στον «κόσμο» των μαθηματικών, ξεκινώντας από τη «γλώσσα» τους, που όταν είναι άσχημα διατυπωμένη (π.χ. 2+=) δεν είναι καν ψευδής, δεν έχει νόημα. Γίνεται λοιπόν αρχικά μια «απογραφή» των τύπων λέξεων που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά, των τύπων φράσεων αλλά και δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στη σημασία του ορισμού («ληξιαρχική πράξη γέννησης ενός νέου αντικειμένου»):
Σελ.19:
-Σε αντίθεση με τους ορισμούς των λέξεων, οι μαθηματικοί ορισμοί δεν είναι απλώς περιγραφικοί αλλά άμεσα λειτουργικοί, δηλ δεν μπορούμε να χειριστούμε τα μαθηματικά παρά μόνο εάν γνωρίζουμε τους ακριβείς ορισμούς, λέξη προς λέξη, χρησιμοποιώντας όλες τις λέξεις που εμφανίζονται στον ορισμό. Να γιατί πρέπει να γνωρίζουμε κάθε ορισμό λέξη προς λέξη. Αρκεί να ξεχάσουμε μία μόνο λέξη και…
- …είναι εντελώς λάθος, και όχι λίγο λάθος. Αυτό ακριβώς δεν αντέχω!

Μαθαίνουμε αρχικά (στο πρώτο, εισαγωγικό κεφάλαιο) τα θεμελιώδη σύμβολα (πρώτο-πρώτο το «ίσον») αλλά και την …ιστορία τους- ώσπου τίθεται το μέγα ερώτημα:
-ΥΠΗΡΧΑΝ ΠΑΝΤΑ ΑΡΙΘΜΟΙ;
Με πολύ άμεσο, απλό και ουσιαστικό τρόπο, σ’ ένα διάλογο όπου ο ένας συμπληρώνει τον άλλον, τοποθετούνται έννοιες βασικές όπως ακέραιοι αριθμοί, διαφορά αριθμού-ψηφίου, τρόπος αρίθμησης (μ’ εντυπωσίασε ο όρος "αρίθμηση θέσης με μηδέν"), δυαδικό (και όχι μόνο) σύστημα, κλάσμα, δύναμη, ζυγοί/άρτιοι αριθμοί, πρώτοι αριθμοί, αρνητικοί κ.α. Παράλληλα με τη σημασία και τη λειτουργικότητα κάθε όρου δίνεται και η «ιστορία» του, ο τρόπος και η αναγκαιότητα γένεσής του, πράγμα ιδιαίτερα ενδιαφέρον.
Στις αριθμητικές πράξεις υπάρχουν τρεις βαθμίδες: πρόσθεση, πολ/σμός, δύναμη. Ένας πολ/σμός είναι μια σειρά προσθέσεων, μια δύναμη είναι μια σειρά πολ/σμών.
Ερωτήματα απλοϊκά αλλά θεμελιακά:
• Γιατί ο πολ/σμός είναι ευκολότερος από τη διαίρεση;
• Γιατί η διαίρεση, που είναι πιο δύσκολη, είναι πιο σημαντική από τον πολ/σμό; (απ. Από τις 4 πράξεις, είναι ίσως εκείνη που παρέχει τα σημαντικότερα αποτελέσματα. Οι διαιρέτες παρέχουν πολύ περισσότερες πληροφορίες για τον αριθμό που διαιρούν απ’ όσες παρέχουν τα πολ/σια για τον αριθμό του οποίου αποτελούν πολ/σιο).
• Γιατί είναι σημαντικοί οι πρώτοι αριθμοί; (δεν μπορώ να κρύψω τη γοητεία που μου προκαλεί η διαπίστωση ότι α) κάθε ακέραιος μπορεί να παραχθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών αλλά κυρίως : β) αν διαθέτω πρώτους αριθμούς, μπορώ να λάβω όλους τους ακέραιους)!
• Το 12 και το 60 είναι «προνομιούχοι» αριθμοί (πολύ πειστική η εξήγηση)

Από τις παρατηρήσεις στις σχέσεις των αριθμών, περνάμε με ανάλογο τρόπο στη «γεωμετρία», όπου με αφορμή ότι δυο ευθείες μπορεί να μην είναι ούτε παράλληλες ούτε τεμνόμενες, διατυπώνεται η θεμελιώδης διαπίστωση ότι πρόκειται για ένα ωραίο παράδειγμα του πόσο απαραίτητο είναι να διευκρινίζουμε σε ποιο σύμπαν ισχύει η πρόταση που διατυπώνουμε. Η γοητεία συνεχίζεται κατά τον ίδιο τρόπο με την άλγεβρα, τα σημεία και τους δεσμούς, τα προβλήματα, τους συλλογισμούς. Στο τελευταίο κεφάλαιο, «Ο συλλογισμός», μ’ εντυπωσίασε το ότι δεν υπήρχαν ανέκαθεν ….θεωρήματα, αλλά στην αρχαιότητα ανήγγελλαν τ’ αποτελέσματα στα οποία είχαν καταλήξει, χωρίς να αναφέρουν το πώς (παρεμπιπτόντως, το θεώρημα είναι το ζευγάρι υπόθεση- συμπέρασμα –όχι μόνο το συμπέρασμα-, το οποίο είναι αληθές όταν κι η υπόθεση είναι αληθής). Επίσης, με εντυπωσίασε η συνεπαγωγή, που έχει τέσσερις πιθανότητες (αληθής> ψευδής , ψευδής >αληθής (!), αλλά όχι αληθής> ψευδής (!!)), όπως και η αρνητική συνεπαγωγή (τι …μαγεία!).
Όσο προχωρά το βιβλίο προς το τέλος, θαρρείς ωριμάζουν οι δυο συνομιλητές, και με ευχάριστο/ χιουμοριστικό τρόπο θέτουν και ζητήματα πιο «φιλοσοφικά», πιο ριζικά για το ρόλο των μαθηματικών στην ανθρώπινη σκέψη. Π. χ. :
Σελ.70:
(Λόλα) – Στα μαθηματικά όλα δικαιολογούνται, όλα έχουν μια αιτία.
- Αυτό τουλάχιστον πιστεύουν οι μαθηματικοί. Θέλουν να κατανοούν, να εξηγούν, να αιτιολογούν. Θα προτιμούσες μήπως ένα σύμπαν όπου δεν θα υπήρχε καμία εξήγηση για όσα θα συνέβαιναν;
- Προτιμώ ένα σύμπαν όπου δεν αιτιολογούνται τα πάντα. Αυτό δε σημαίνει ότι επιθυμώ να μην εξηγείται τίποτα.
- Η εξήγηση δεν καταργεί το θάμπωμα. Όταν λυθεί το μυστήριο, απομένει η ομορφιά, που είναι ακόμα μεγαλύτερη όταν γνωρίζουμε από πού πηγάζει κλπ.
Στις τελευταίες σελίδες, οι δυο «άνισοι» συνομιλητές (γι’ αυτό όμως ίσως ο διάλογος έχει ιδιαίτερη γοητεία) μιλούν για την ακρίβεια της μαθηματικής γλώσσας (που τόσο εκνευρίζει τη Λόλα), για τη χρησιμότητά τους, για την ομορφιά τους, καταλήγοντας ότι δε θα μπορούσαν να υπάρχουν πιο εκ διαμέτρου αντίθετοι από τη Λόλα και τον Ρέι!!
Είναι ένα βιβλίο πολύ κατάλληλο για παιδιά που αγαπούν τα μαθηματικά (ή που τ' αγαπούν... λίγο!), πάντως απευθύνεται σε ανθρώπους «μη ειδικούς». Σίγουρα, δεν προσφέρει «γνώσεις» σε κάποιον που γνωρίζει τα στοιχειώδη μαθηματικά, αλλά νομίζω ότι σύντομα και ουσιαστικά περιγράφει τη λειτουργία, το ρόλο που έχουν τα μαθηματικά στη ζωή μας, είτε το θέλουμε είτε όχι!

Χριστίνα Παπαγελή